Пункт 38. Среднее арифметическое, со страницы 117
Задание 647
Найдите среднее арифметическое чисел 2 и 10. Изобразите на координатном луче число 2, число 10 и их среднее арифметическое. Сделайте вывод.
Решение
(10 + 2) : 2 = 6
Среднее арифметическое чисел на координатном луче будет являться серединой отрезка построенного между данными числами.
Задание 648
Найдите среднее арифметическое чисел:
а) 70,6 и 71,3;
б) 0,1; 0,2 и 0,3;
в) 1,11; 1,12; 1,19 и 1,48;
г) 7,381; 5,004; 6,118; 8,019; 7,815 и 5,863.
Решение
а) (70,6 + 71,3) : 2 = 141,9 : 2 = 70,95
б) (0,1 + 0,2 + 0,3) : 3 = 0,6 : 3 = 0,2
в) (1,11 + 1,12 + 1,19 + 1,48) : 4 = 4,9 : 4 = 1,225
г) (7,381 + 5,004 + 6,118 + 8,019 + 7,815 + 5,863) : 6 = 6,7
Задание 649
На рисунке 153 АВ = ВС, где А(8,9) и В(9,5). Найдите координату точки С. Чему равно среднее арифметическое координат точек А и С?
Решение
Координата точки С(9,5 + (9,5 − 8,9)) = С(9,5 + 0,6) = С(10,1).
Среднее арифметическое координат точек А и С равно (8,9 + 10,1) : 2 = 19 : 2 = 9,5 − это координата точки В.
Задание 650
Четыре поля имеют площадь по 200 га каждое. На первом поле собрали 7220 ц пшеницы, на втором − 7560 ц пшеницы, на третьем − 7090 ц пшеницы и на четвёртом − 7130 ц пшеницы. Определите урожайность пшеницы на каждом поле и найдите среднюю урожайность.
Решение
1) 7220 : 200 = 36,1 (ц/га) - урожайность пшеницы на первом поле:
2) 7560 : 200 = 37,8 (ц/га) - на втором поле
3) 7090 : 200 = 35,45 (ц/га) - на третьем поле
4) 7130 : 200 = 35,65 (ц/га) - на четвёртом поле
5) (36,1 + 37,8 + 35,45 + 35,65) : 4 = 145 : 4 = 36,25 (ц/га) - средняя урожайность пшеницы
Ответ: 36,25 ц/га.
Задание 651
С поля площадью 87 га сняли урожай 10450 ц картофеля, а с поля площадью 113 га собрали 14980 ц картофеля. Найдите среднюю урожайность картофеля на этих полях.
Решение
(10450 + 14980) : (87 + 113) = 25430 : 200 = 127,15 (ц/га) - средняя урожайность картофеля
Ответ: 127,15 ц/га.
Задание 652
==
Решение
(10 + 9 + 12 + 8 + 9 + 11 + 15 + 10 + 12 + 14) : 10 = 110 : 10 = 11о - средняя температура
Ответ: 11о.
Задание 653
=
Решение
Время 8.00-11.00 11.00-14.00 14.00-17.00 17.00-20.00
t, oC 9 12 13 10
(9 + 12 + 13 + 10) : 4 = 44 : 4 = 11о - средняя температура
Ответ: 11о.
Задание 654
Найдите среднее арифметическое чисел 84,32; 84,47; 84,56 и 84,68 и округлите его до десятых.
Решение
(84,32 + 84,47 + 84,56 + 84,68) : 4 = 338,03 : 4 = 84,5075 ≈ 84,5.
Задание 655
Участница соревнований по фигурному катанию на коньках получила оценки 5,3; 4,8; 5,4; 5,0; 5,3; 5,4; 5,3; 5,2; 5,1. Найдите среднюю оценку этой участницы.
Решение
(5,3 + 4,8 + 5,4 + 5,0 + 5,3 + 5,4 + 5,3 + 5,2 + 5,1) : 9 = 5,2 - средняя оценка
Ответ: 5,2.
Задание 656
Автомобиль двигался 3,2 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем 1,5 ч по грунтовой дороге со скоростью 45 км/ч, наконец, 0,3 ч по просёлочной дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всём пути.
Решение
(90 * 3,2 + 45 * 1,5 + 30 * 0,3) : (3,2 + 1,5 + 0,3) = (288 + 67,5 + 9) : 5 = 364,5 : 5 = 72,9 (км/ч) - средняя скорость автомобиля
Ответ: 72,9 км/ч.
Задание 657
Поезд шёл 4 ч со скоростью 70 км/ч и 3 ч со скоростью 84 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на пройденном за это время пути.
Решение
(4 * 70 + 4 * 2,25)/2 = 76 (км/ч) - средняя скорость поезда
Ответ: 76 км/ч.
Задание 658
Среднее арифметическое двух чисел равно 3,1. Одно число равно 3,8. Найдите второе число.
Сумма чисел = (Среднее арифметическое) * (количество чисел)
Решение
с = (a + b) : 2 => a = 2c − b:
при а = 3,8, с = 3,1;
a = 2c − b = 2 * 3,1 − 3,8 = 6,2 − 3,8 = 2,4.
Задание 659
Среднее арифметическое шести чисел равно 3,5, а среднее арифметическое четырёх других чисел − 2,25. Найдите среднее арифметическое этих десяти чисел.
Решение
(6 * 3,5 + 4 * 2,25) : 2 = 3 - среднее арифметическое 10 чисел
Ответ: 3.
Задание 660
На первом участке пути поезд шёл 2 ч со скоростью 60 км/ч, а на втором он шёл 3 ч. С какой скоростью шёл поезд на втором участке, если его средняя скорость на двух участках была равна 51 км/ч?
Решение
Пусть скорость поезда на втором участке равна х,
тогда его средняя скорость равна
(60 * 2 + х * 3) : (2 + 3) км/ч.
Составим уравнение:
(60 * 2 + х * 3) : (2 + 3) = 51
120 + 3х = 51 * 5
х = (255 − 120) : 3
х = 45
Значит, скорость поезда на втором участке 45 км/ч.
Ответ: 45 км/ч.
Задание 661
Скорость катера по течению 18,6 км/ч, а против течения 14,2 км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость течения.
Решение
Пусть скорость течения − x км/ч,
тогда скорость катера по течению (18,6 − x) км/ч,
а против течения (14,2 + x) км/ч.
Составим уравнение:
(18,6 − x) = (14,2 + x)
x = (18,6 − 14,2) : 2
х = 2,2
Значит, 2,2 км/ч − скорость течения
18,6 − 2,2 = 16,4 (км/ч) - собственная скорость катера
Ответ: 16,4 км/ч, 2,2 км/ч.
Задание 662
Одно число больше другого в 1,5 раза, среднее арифметическое этих двух чисел равно 30. Найдите эти числа.
Решение
Пусть одно число − х, тогда другое число − 1,5x.
Среднее арифметическое этих чисел равно (х + 1,5x) : 2.
Составим уравнение:
(x + 1,5x) : 2 = 30
2,5x = 30 * 2
x = 60 : 2,5
х = 24 − одно число
1,5 * 24 = 36 - другое число
Ответ: 24 и 36.
Задание 663
Вычислите устно:
а)
0,14 + 0,06;
2 − 0,7;
100 * 0,012;
0,42 : 7;
б)
3,18 − 1,08;
2,06 + 1,04;
5,4 * 0,1;
4,08 : 4;
в)
5,7 + 0,13;
2,85 − 1,5;
0,8 * 0,5;
0,5 : 2;
г)
0,4²;
0,3²;
0,05²;
0,01³.
Решение
а) 0,14 + 0,06 = 0,2
2 − 0,7 = 1,3
100 * 0,012 = 1,2
0,42 : 7 = 0,06
б) 3,18 − 1,08 = 2,1
2,06 + 1,04 = 3,1
5,4 * 0,1 = 0,54
4,08 : 4 = 1,02
в) 5,7 + 0,13 = 5,83
2,85 − 1,5 = 1,35
0,8 * 0,5 = 0,4
0,5 : 2 = 0,25
г) 0,4² = 0 , 16
0,3² = 0 , 09
0,05² = 0 , 0025
0,01³ = 0 , 000001
Задание 664
Выполните деление:
а) 40: 0,4;
б) 0,8 : 0,2;
в) 20 : 0,5;
г) 100 : 0,1;
д) 1000 : 0,01;
е) 6 : 0,3;
ж) 0,18 : 0,6;
з) 0,1 : 0,01;
и) 1 : 0,5.
Решение
а) 40 : 0,4 = 400 : 4 = 100
б) 0,8 : 0,2 = 8 : 2 = 4
в) 20 : 0,5 = 200 : 5 = 40
г) 100 : 0,1 = 1000
д) 1000 : 0,01 = 100000
e) 6 : 0,3 = 60 : 3 = 20
ж) 0,18 : 0,6 = 1,8 : 6 = 0,3
з) 0,1 : 0,01 = 10
и) 1 : 0,5 = 10 : 5 = 2
Задание 665
В летний лагерь детей отправляли на 6 одинаковых автобусах. В автобусах оказалось 29, 41, 28, 22, 27 и 33 человека. Можно ли было отъезжающих разместить в автобусах поровну?
Решение
29 + 41 + 28 + 22 + 27 + 33 = 180 (д.) - привезли всего
Так как 180 : 6 = 30, то следовательно, отъезжающих можно разместить на 6 автобусах по 30 человек в каждом.
Задание 666
Вы знаете, что:
0,1 = 1/10 0,125 = 1/8 0,25 = 1/4 0,2 = 1/5 0,5 = 1/2
Поэтому умножить число на 0,5 означает найти половину числа, умножить на 0,125 означает найти восьмую часть числа и т.д.
Подумайте как проще найти значение выражения:
а) 400 * 0,1;
б) 20 * 0,2;
в) 84 * 0,25;
г) 16 * 0,125;
д) 68 * 0,5.
Решение
а) 400 * 0,1 = 400 : 10 = 40
б) 20 * 0,2 = 20 : 10 • 2 = 4
в) 84 * 0,25 = 84 : 4 = 21
г) 16 * 0,125 = 16 : 8 = 2
д) 68 * 0,5 = 68 : 2 = 34
Задание 667
Может ли произведение двух чисел оказаться меньше одного из множителей? Меньше обоих множителей? Может ли частное оказаться больше делимого? Приведите примеры.
Решение
Произведение меньше одного из множителей: 0,1 * 10 = 1.
Произведение меньше каждого из множителей: 0,1 * 0,5 = 0,05.
Частное больше делимого: 1 : 0,1 = 10.
Задание 668
Мальчик решил определить длину моста через реку. Он заметил, что расстояние между двумя столбиками, на которых крепятся перила, равно двум шагам, а столбиков всего 30. Какова длина моста, если один шаг мальчика 0,4 м?
Решение
Между 30 столбиками находятся 29 промежутков, поэтому длина всего моста равна
2 * 0,4 * 29 = 0,8 * 29 = 23,2 (м) - длина моста
Ответ: 23,2 м.
Задание 669
Выполните деление:
а) 0,432 : 0,24;
б) 0,8625 : 0,375;
в) 1,872 : 2,34;
г) 0,481 : 0,037;
д) 41,48 : 34;
е) 127,2 : 159.
Решение
а) 0,432 : 0,24 = 43,2 : 24 = 1,8
б) 0,8625 : 0,375 = 862,5 : 375 = 2,3
в) 1,872 : 2,34 = 187,2 : 234 = 0,8
г) 0,481 : 0,037 = 481 : 37 = 13
д) 41,48 : 34 = 1,22
e) 127,2 : 159 = 0,8
Задание 670
Решите уравнение:
а) 3,5x − 2,3x + 3,8 = 4,28;
б) 4,7y − (2,5y + 12,4) = 1,9;
в) (8,3 − k) * 4,7 = 5,64;
г) (9,2 − m) * 3,2 = 16.
Решение
а) 3,5x − 2,3x + 3,8 = 4,28
1,2x = 4,28 − 3,8
x = 0,48 : 1,2
х = 0,4
б) 4,7у − (2,5y + 12,4) = 1,9
2,2y = 1,9 + 12,4
у = 14,3 : 2,2
у = 6,5
в) (8,3 − k) * 4,7 − 5,64
8,3 − k = 5,64 : 4,7
k = 8,3 − 1,2
k = 7,1
г) (9,2 − m) * 3,2 = 16
9,2 − m = 16 : 3,2
m = 9,2 − 5
m = 4,2
Задание 671
Школьная географическая площадка занимает 36 м². Это составляет 0,1 всего пришкольного участка. Найдите площадь пришкольного участка.
Решение
36 : 0,1 = 360 (м²) - площадь пришкольного участка
Ответ: 360 м².
Задание 672
В 12 ч скорый поезд догнал пассажирский, а в 18 ч был уже впереди его на 120 км. Какое расстояние между поездами было в 10 ч, если скорость пассажирского поезда 70 км/ч? Какое данное в условии задачи лишнее?
Решение
1) 120 : (18 − 12) = 120 : 6 = 20 (км/ч) - скорость удаления скорого поезда от пассажирского
2) 20 * (12 − 10) = 20 * 2 = 40 (км) - было в 10 ч между поездами
Ответ: 40 км.
Лишнее данное − значение скорости пассажирского поезда.
Задание 673
Длина стороны основания пирамиды Хеопса 230 м. Туристы, осматривая пирамиду, идут со скоростью 0,32 м/с. Успеют ли туристы за час обойти вокруг пирамиды?
Решение
Так как у пирамиды четыре стороны, то на обход пирамиды туристам потребуется
230 * 4 : 0,32 = 920 : 0,32 = 2875 с < 3600 с = 1 ч, то есть туристы успеют обойти вокруг пирамиды за 1 ч.
Задание 674
Заполните таблицу:
Решение
Задание 675
Вычислите:
1) (7 − 5,38) * 2,5;
2) (8 − 6,46) * 1,5.
Решение
1) (7 − 5,38) * 2,5 = 1,62 * 2,5 = 4,05
2) (8 − 6,46) * 1,5 = 1,54 * 1,5 = 2,31
Задание 676
В двоичной системе счисления при записи числа используют всего две цифры: 0 и 1. Число «один» записывается, как обычно, 1, но число «два» составляет уже единицу второго разряда и поэтому записывается так: 102 «одна двойка и нуль единиц* (цифра 2, находящаяся внизу в конце записи числа, означает, что число записано в двоичной системе). Число «три» изображается: 112 «одна двойка и одна единица». Число «четыре» представляет собой единицу следующего, третьего разряда и поэтому записывается так: 1002 «одна четвёрка, нуль двоек и нуль единиц». Таким образом, если в записи числа цифру 1 передвинуть влево на один разряд, то её значение увеличивается вдвое (а не в десять раз, как в нашей десятичной системе). Сравните представление числа, запись которого состоит из четырёх цифр 1, в виде суммы разрядных единиц в десятичной и двоичной системах:
1111 = 1 * 1000 + 1 * 100 + 1 * 10 + 1 = 1 * 10³ + 1 * 10² + 1 * 10 + 1;
1111 2 = 1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 = 1 * 2³ + 1 * 2² + 1 * 2 + 1 = 15.
Решение
10 2 = 1 * 2 = 2;
100 2 = 1 * 2² = 4;
101 2 = 1 * 2² + 1 = 5;
110 2 = 1 * 2² + 1 * 2 = 6;
1110 2 = 1 * 2³ + 1 * 2² + 1 * 2 = 14;
1 = 1 2 , 2 = 10 2 , 3 = 11 2 , 4 = 100 2 , 5 = 101 2 , 6 = 110 2 , 7 = 111 2 , 8 = 1000 2 , 9 = 1001 2 , 10 = 1010 2 , 11 = 1011 2 , 12 = 1100 2 , 13 = 1101 2 , 14 = 1110 2 , 15 = 1111 2
Задание 677
Найдите среднее арифметическое чисел:
а) 32,15; 31,28; 29,16; 34,54 и округлите ответ до сотых;
б) 3,234; 3,452; 4,185; 2,892 и округлите ответ до тысячных.
Решение
а) (32,15 + 31,28 + 29,16 + 34,54) : 4 = 127,13 : 4 = 31,7825 ≈ 31,78
б) (3,234 + 3,452 + 4,185 + 2,892) : 4 = 13,763 : 4 = 3,44075 ≈ 3,441
Задание 678
Измерьте длину десяти своих шагов и найдите среднюю длину
Решение
(51 + 52 + 59 + 50 + 49 + 50 + 51 + 52 + 50 + 50) : 10 = 54 : 10 = 50,4 см.
Задание 679
Автомашина шла 3 ч со скоростью 53,5 км/ч, 2 ч со скоростью 62,3 км/ч и 4 ч со скоростью 48,2 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомашины на всём пути.
Решение
Средняя скорость движения автомашины
(53,5 * 3 + 62,3 * 2 + 48,2 * 4) : (3 + 2 + 4) = (160,5 + 124,6 + 192,8) : 9 = 477,9 : 9 = 53,1 км/ч.
Задание 680
Турист шёл 3,8 ч со скоростью 1,2 м/с, а затем 2,2 ч со скоростью 0,9 м/с. Какова средняя скорость движения туриста на всём пути?
Решение
(1,2 * 3,8 * 3600 + 0,9 * 0,2 * 3600) : (3,8 + 2,2) = (16416 + 7128) : 6 = 23544 : 6 = 3924 (м/ч) - средняя скорость движения туриста
3924 м/ч = 3,924 км/ч
Ответ: 3,924 км/ч.
Задание 681
Среднее арифметическое двух чисел 4,6. Одно число 5,4. Найдите другое число.
Решение
Пусть х - неизвестное число.
Составим уравнение
(х + 5,4) : 2 = 4,6
х = 4,6 * 2 − 5,4
х = 3,8
Ответ: 3,8.
Задание 682
Среднее арифметическое двух чисел 4,4. Найдите эти числа, если одно из них на 1,4 больше другого.
Решение
Пусть 1 число - х, тогда второе (х + 1,4)
Составим уравнение:
(х + (х + 1,4)) : 2 = 4,4
2х + 1,4 = 4,4 * 2
x = (8,8 − 1,4) : 2
х = 3,7
Значит, 3,7 − одно число
3,7 + 1,4 = 5,1 - другое число
Ответ: 3,7 и 5,1.
Задание 683
Среднее арифметическое трёх чисел 6. Найдите эти числа, если первое число в 2,5 раза больше, а второе в 1,5 раза больше третьего.
Решение
Пусть третье число равно х,
тогда первое число равно 2,5х,
а второе число равно 1,5x.
Составим уравнение:
(2,5х + 1,5х + х) : 3 = 6
5х = 6 * 3
х = 18 : 5
х = 3,6 − третье число,
2,5 * 3,6 = 9 − первое число,
1,5 * 3,6 = 5,4 − второе число.
Ответ: 9; 5,4; 3,6 .
Задание 684
За 7 ч тракторист вспахал 4,9 га. С какой скоростью двигался трактор, если ширина полосы, вспахиваемая плугами, равна 1,75 м?
Решение
4,9 га = 49000 м²
1) 49000 : 1,75 = 28000 (м) - длина полосы, вспаханная трактористом
28000 м = 28 км
2) 28 : 7 = 4 (км/ч) - скорость движения трактора
Ответ: 4 км/ч.
Задание 685
Для приготовления салата из зелёного лука берут 150 г зелёного лука и 30 г сметаны. Сколько сметаны потребуется повару, чтобы приготовить салат из 27 кг зелёного лука?
Решение
(27000 : 150) * 30 = 180 * 30 = 5400 (г) - сметаны потребуется для приготовления салата.
5400 г = 5,4 кг
Ответ: 5,4 кг сметаны.
Задание 686
Каждый год растительный мир даёт 117 млрд т прироста массы. Каждые 3 т этой массы дают столько же энергии, сколько 1 т нефти. Сколько тонн нефти может заменить прирост массы растений за 4 года?
Решение
За 4 года прирост массы растений составит
117 млрд. т * 4 = 468 млрд.т, что заменяет 468 млрд.т : 3 = 156 млрд.т нефти.
Задание 687
Найдите значение выражения:
а) 3,4x + 5,7x + 6,6x − 4,7x при x = 3,6; 0,8; 10;
б) 3,8m − (2,8m + 0,7m) при m = 2,4; 8,57;
в) 16,75y − (4,75y + 10,8) при у = 0,9; 3,01.
Решение
а) 3,4x + 5,7x + 6,6x − 4,7x = (3,4x + 6,6х) + (5,7x − 4,7x) = 10х + x = 11x
При x = 3,6
11x = 11 * 3,6 = 39,6
При x = 0,8
11х = 11 * 0,8 = 8,8
При x = 10
11х = 11 * 10 = 110
б) 3,8m − (2,8m + 0,7m) = 3,8m − 2,8m − 0,7m = m − 0,7m = 0,3m
При m = 2,4
0,3m = 0,3 * 2,4 = 0,72
При m = 8,57
0,3m = 0,3 * 8,57 = 2,571
в) 16,75y − (4,75y + 10,8) = 16,75y − 4,75y − 10,8 = 12y − 10,8
При у = 0,9
12у − 10,8 = 12 * 0,9 − 10,8 = 10,8 − 10,8 = 0
При у = 3,01
12y − 10,8 − 12 * 3,01 − 10,8 = 36,12 − 10,8 − 25,32
Задание 688
Выполните действия:
а) 42,165 − 22,165 : (0,61 + 3,42);
б) 243,08 + 256,32 : (28 − 25,5).
Решение
а) 42,165 − 22,165 : (0,61 + 3,42) = 42,165 − 22,165 : 4,03 = 42,165 − 5,5 = 36,665
б) 243,08 + 256,32 : (28−25,5) = 243,08 + 256,32 : 2,5 = 243,08 + 102,528 = 345,608
